Mô tả:
ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM TOÁN
BỘ MÔN SƯ PHẠM TOÁN HỌC
------------
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
Đề tài:
PHÉP CHIA
TRÊN TẬP HỢP SỐ NGUYÊN
Giáo viên hướng dẫn:
Th.S Nguyễn Văn A
Sinh viên thực tập:
Trần Văn B
Mã SV:
Lớp:
Cần Thơ, 04/2015
Trang 2
MỤC LỤC
MỤC LỤC............................................................................................................................................... 2
CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU................................................................................................................... 4
1.1 Đặt vấn đề nghiên cứu. ................................................................................................................. 4
1.1.1 Sự cần thiết nghiên cứu................................................................................................ 4
1.1.2 Căn cứ khoa học và thực tiễn. ...................................................................................... 5
1.2 Mục tiêu nghiên cứu. .................................................................................................................... 5
1.2.1 Mục tiêu chung. ........................................................................................................... 5
1.1.2 Mục tiêu cụ thể............................................................................................................. 6
1.3 Các giả thuyết cần kiểm định và câu hỏi nghiên cứu. .................................................................. 6
1.3.1 Các giả thuyết cần kiểm định. ...................................................................................... 6
1.3.2 Câu hỏi nghiên cứu. ..................................................................................................... 6
1.4 Phạm vi nghiên cứu. ..................................................................................................................... 6
1.4.1 Không gian (địa bàn nghiên cứu)................................................................................. 6
1.4.2 Thời gian ...................................................................................................................... 7
1.5 Lược khảo tài liệu liên quan đến đề tài nghiên cứu. ..................................................................... 7
CHƯƠNG 2: NHẬP MÔN KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHÉP CHIA.............................................. 8
TRÊN TẬP HỢP SỐ NGUYÊN ........................................................................................................... 8
2.1 Mở đầu. ......................................................................................................................................... 8
2.2 Định nghĩa phép chia. ................................................................................................................... 8
2.3 Quan hệ chia hết trên tập số nguyên. ............................................................................................ 9
2.4 Định lý về phép chia có dư. .......................................................................................................... 9
2.5 Các tính chất. ................................................................................................................................ 9
2.6 Một số dấu hiệu chia hết. ............................................................................................................ 10
2.7 Sự phân tích một số tự nhiên ra th a số nguyên tố. .................................................................... 11
2.8. Định lý Fec – ma. ....................................................................................................................... 11
2.9 ng đ ng thức hiệu hai l y th a c ng bậc................................................................................ 12
2.10 Đồng dư thức. ........................................................................................................................... 12
2.11 Một số định lý. .......................................................................................................................... 12
CHƯƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ PHÉP CHIA ..................................................... 14
TRÊN TẬP HỢP SỐ NGUYÊN ......................................................................................................... 14
3.1 Một số kỹ năng cơ bản về phép chia trên tập hợp số nguyên (Z). .............................................. 14
3.2 Một số bài toán liên quan đến phép chia trên tập số nguyên. ..................................................... 20
3.2.1 Tìm số dư khi chia một lũy thừa cho một số nguyên. ................................................. 20
3.2.2 Chứng minh một biểu thức không chia hết cho một số nguyên. ................................ 24
3.2.4 Chứng minh một số nguyên không phải là một số lũy thừa. ...................................... 28
3.2.5 S d ng ph p chia t ong vi c giải phư ng t ình nghi m nguyên. ............................. 30
3.2.6 S d ng dấu hi u cho hết và tính chất chia hết t ong số nguyên (Z). ....................... 36
3.2.7 Biến đổi biểu thức cần chứng minh về dạng tổng. ..................................................... 41
3.2.8 S d ng phư ng pháp quy nạp toán học. .................................................................. 44
3.2.9 S d ng đồng dư thức. ............................................................................................... 46
3.2.10 Sử dụng nguyên lý Đirichlet. .................................................................................. 49
3.2.11 Phư ng pháp phản chứng. ....................................................................................... 51
Trang 3
3.2.12 Tìm điều kiện để xảy ra quan hệ chia hết. ............................................................. 53
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................................... 56
PHỤ LỤC.............................................................................................................................................. 57
KẾT LUẬN........................................................................................................................................... 60
Trang 4
CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU
1.1 Đặt vấn đề nghiên cứu.
1.1.1 Sự cần thiết nghiên cứu.
Toán học ra đời gắn liền với con người và lịch sử phát triển của xã hội, nó có
một ý nghĩa lý luận và thực tiễn vô c ng to lớn và quan trọng. Trong thời đại hiện
nay, công nghiệp hóa, hiện đại hóa nhất thiết phải đặt trên nền tảng dân trí ngày càng
được nâng cao.
Trong giai đoạn hiện nay, theo quan điểm giáo dục mới của Đảng và nhà
nước, giáo dục đào tạo nh m nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân
tài trên mọi lĩnh vực khoa học. Sự phát triển của khoa học tự nhiên lại được đặt trên
nền tảng của khoa học Toán học. Vậy dạy Toán ở phổ thông ngoài việc cung cấp tri
thức cho con người, đặc biệt phải chú ý dạy cho con người biết phương pháp phân
tích, nghiên cứu, tìm tòi đào sâu khai phá, phát triển bài toán để tổng quát hóa, khái
quát hóa kiến thức và nâng cao tư duy về giải toán.
Chương trình Toán cấp THCS, kiến thức cơ bản của bộ môn Toán là các khái
niệm, các định nghĩa, các định lý, các hệ quả, các tiên đề, các công thức, các quy tắc
về phép tính vv... Đó là một yêu cầu, nội dung Toán học mà học sinh cần phải n m
được và hầu như là các em, đa số đã đạt được yêu cầu đó.
Song một yêu cầu cần đạt và vô c ng quan trọng nữa về môn Toán đối với
người học là “Kỹ năng giải bài tập Toán”. Đây là một nội dung khó. Để đạt được
điều này thì người thầy phải thật sự đầu tư, tìm tòi nội dung, phương pháp giảng dạy
để giúp học sinh có được năng lực tư duy sáng tạo t đó có được kỹ năng giải Toán.
Trong chương trình toán cấp T CS có nhiều kiến thức, kỹ năng ở t ng khối.
Các bài toán đại số có liên quan đến chứa dấu giá trị tuyệt đối là những bài toán khó
đối với học sinh, ở những bài toán này học sinh thường rất dễ nhầm trong quá trình
bỏ dấu giá trị tuyệt đối khi giải. Đặc biệt là những bất phương trình, phương trình có
t hai dấu giá trị tuyệt đối trở lên, những bài toán giải và biện luận phương trìnhm
bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, khi làm những bài tập dạng này phần lớn
các học sinh rất lúng túng không có phương pháp giải. Chính vì vậy tôi thấy sự cần
thiết nghiên cứu đề tài “Phép chia trên tập hợp số nguyên” để tìm ra những phương
pháp giải đặc trưng nh m đạt được yêu cầu giúp học sinh có được “Kỹ năng giải bài
tập Toán”
Trang 5
1.1.2 Căn cứ khoa học và thực tiễn.
Chúng ta đã biết r ng hiện nay kiểu dạy học “đọc chép” tức là thầy đọc trò
chép vào vở, truyền thụ kiến thức theo kiểu “bình thông nhau”. Dạy nhồi nhét, học
thụ động là kiểu dạy học cổ điển không còn chấp nhận được. Đặc biệt là đối với môn
Toán, dạy như vậy thì học trò học đến đâu quên đến đó, làm bài tập nào thì biết bài
tập đó, giải hết bài này đến bài khác, tốn rất nhiều thời gian và công sức mà không
đọng lại trong đầu học sinh điều gì đáng kể. Ngay cả những học sinh khá giỏi c ng
vậy, mới chỉ đầu tư vào giải hết các bài toán khó này đến bài toán khó khác mà vẫn
chưa phát huy được tính tư duy sáng tạo, chưa có một phương pháp làm bài. Trong
khi đó, t một đơn vị kiến thức cơ bản nào đó của toán học lại có một hệ thống bài
tập rất đa dạng và phong phú, mỗi bài một kiểu, một dạng mà lời giải thì không theo
một khuôn mẫu nào cả. Do vậy mà học sinh rất lúng túng khi đứng trước một đề
toán. T đó mà chất lượng môn Toán vẫn thấp chưa đáp ứng được mong mỏi của
chúng ta.
Vậy thì để nâng cao chất lượng học tập bộ môn Toán của học sinh, hơn ai hết
người thầy đóng vai trò quan trọng, phải thực sự đổi mới phương pháp giảng dạy,
phải tích cực hóa hoạt động của học sinh nh m hình thành cho học sinh tư duy tích
cực, tính độc lập sáng tạo, qua đó nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết các vấn
đề một cách nhanh chóng. T đó mà học sinh v a lĩnh hội được đầy đủ những yêu
cầu của chương trình hiện hành, v a thực hiện được nâng cao trí tuê, rèn luyện được
tư duy lô gíc và khả năng sáng tạo toán học.
Để làm được điều đó, trong khi giảng dạy bộ môn Toán, người thầy cần phải
cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản cần thiết, những kỹ năng, kĩ xảo, một
hệ thống làm bài, xem đó là những công cụ để giải quyết các bài tập, phương châm là
“Giải 1 bài toán bằng 10 phư ng pháp chứ không phải 10 bái toán bằng 1 phư ng
pháp”.
1.2 Mục tiêu nghiên cứu.
1.2.1 Mục tiêu chung.
Nâng cao chất lượng giáo dục, đáp ứng nhu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy
hiện nay.
Trang 6
Phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo, năng lực tự học của học sinh, tạo điều
kiện cho các em hứng thú học tập bộ môn.
1.1.2 Mục tiêu cụ thể.
Rèn luyện cho học sinh những kỹ năng thực hành giải toán về phương trình
chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Các kỹ năng, kiến thức cơ sở về quy tắc tính toán, giá trị tuyệt đối của một biểu
thức và giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối.
Nêu cao được một số kinh nghiệm của bản thân về: “Phép chia trên tập hợp số
nguyên”
Ngoài ra còn rèn cho học sinh những đức tính cẩn thận, sáng tạo, chủ động
trong giải toán.
1.3 Các giả thuyết cần kiểm định và câu hỏi nghiên cứu.
1.3.1 Các giả thuyết cần kiểm định.
Giả thiết
H01: Nhu cầu thiết yếu của đề tài đối với học sinh là như nhau.
H02: Mức độ ảnh hưởng đến nhu cầu tại các trường học của các học sinh c ng là
như nhau.
1.3.2 Câu hỏi nghiên cứu.
1. Tình hình thực tiễn về đề tài này đã phổ biến trong chương trình giáo dục cấp
T CS chưa?
2. Những điểm mạnh điểm yếu trong phương pháp này?
3. Phải biết truyền đạt nội dung của đề tài này đến học sinh như thế nào? Có ph
hợp với tất cả các đối tượng học sinh?
4. Suốt quá trình giảng phải cho học sinh động não suy nghĩ tại sao, làm thế nào?
Tại sao nghĩ thế?
1.4 Phạm vi nghiên cứu.
1.4.1 Không gian (địa bàn nghiên cứu)
Đề tài được nghiên cứu tại Đại học Cần Thơ
Phạm vi thu thập số liệu: Trong Đại học Cần Thơ
Trang 7
1.4.2 Thời gian
Được thực hiện vào thánh 04/2015
1.5 Lược khảo tài liệu liên quan đến đề tài nghiên cứu.
Trong quá trình thực hiện đề tài, tác giả đã tham khảo một số bài nghiên cứu và
chuyên đề liên quan đến nội dung thực hiện cụ thể như sau:
[1] Số học – Nguyễn Vũ Thanh.
[2] Toán chọn lọc cấp II – Lê Hải Châu.
[3] 400 bài toán chọn lọc – Vũ Dư ng Thuỵ – T ư ng Công Thành – Nguyễn Ngọc
Đạm.
[4] Chuyên đề số học – Võ Đại Mau.
[5] Bài tập số học về đại số – Tủ sách ĐHSP – Nhà xuất bản GD 1985.
[6] Thực hành giải toán cấp II – T ung tâm nghiên cứu đào tạo bồi dưỡng giáo viên.
[7] 250 bài toán số học đại số – Võ Đại Mau – Lê Tất Hùng – Vũ Thị Nhàn.
[8] Các đề vô định toán các nước – Nhà xuất bản Hải phòng.
[9] 255 bài toán số học chọn lọc – Sở GD Hà Tây 1993.
[10] Chuyên đề bồi dưỡng giỏi toán 6 – Đinh Vũ Nhân – Võ Thị Ái Nư ng – Hoàng
Chúng.
[11] Số học bà chúa của toán học – Hoàng Chúng.
Trang 8
CHƯƠNG 2: NHẬP MÔN KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHÉP CHIA
TRÊN TẬP HỢP SỐ NGUYÊN
2.1 Mở đầu.
Tập số nguyên ký hiệu b ng chữ Z các phân tử của nó gồm các số nguyân âm , số 0 và
các số nguyên dương , hay còn nói tập Z gồm các số tự nhiên N và các số nguyên âm .
Z = ( Z – ) (Z + ) (0) ; Z = ( Z – ) (N) .
Trên trục số , số nào n m ở bên trái nhỏ hơn số n m bên phải . Khi ta nói a là số
nguyên dương thì ta viết : a Z ; a > 0 ; Khi ta nói a là số nguyên âm thì viết a Z ; a < 0 .
Trong tập Z phép chia không phải bao giờ c ng thực hiện được . Khi a chia cho b mà
tìm được c thuộc vào Z để a = b.c thì lúc đó ta nói a chia hết cho b , ta viết a b . Khi a chia
hết cho b thì ta còn nói a là bội số của b , hay b là ước số của a . Ta viết Ư(a) = b .
Người ta quan sát các số tận c ng để biết dấu hiệu chia hết cho : 2 ; 4; 5; 8; 10; ví dụ :
số có tậnc ng là số 0; 2; 4; 6; 8; thì chia hết cho 2 lúc đó ta gọi là số chẵn . các số có tần c ng
là 0 ; 5 thì chia hết cho 5 . tận c ng là 0 thì chia hết cho 10. Tận c ng có 2 chữ số chia hết cho
4 thì chia hết cho 4 . Tận c ng có 3 chữ số chia hết cho 8 thì chia hết cho 8 .
Người ta tính tổng các chữ số để biết được các số có chia hết cho 3 ; 9 hay không nếu
tổng các chữ số của số dó chia hết choa 3 ; cho 9 .
Người ta tính hiệu các chữ số hàng chẵn và lẻ để biết số có chia hết cho 11 hay không
nếu hiệu đó chia hết cho 11 .
Tính chất chia hết của một tổng và hiệu : Nếu a chia hết cho c , b chia hết cho c thì ta
nói a + b chia hết cho c . Điều ngược lại không đúng . và hiệu a – b c ng chia hết cho c . Điều
ngược lại không đúng.
Một tích có một th a số chia hết cho a thì cả tích chia hết cho a .
Nếu a chia hết cho tích ab mà a và b nguyên tố c ng nhau thì a chia hết cho b.
2.2 Định nghĩa phép chia.
Cho 2 số nguyên a và b trong đó b 0 ta luôn tìm được hai số nguyên q và r duy nhất sao
cho:
a = bq + r Với 0 r b
T ong đó: a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư.
Trang 9
Khi a chia cho b có thể xẩy ra b số dư
r {0; 1; 2; …; b}
Đặc biệt: r = 0 thì a = bq, khi đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a.
Ký hiệu: ab hay b\ a
Vậy: a b Có số nguyên q sao cho a = bq.
2.3 Quan hệ chia hết trên tập số nguyên.
Cho hai số nguyên a, b. Nếu tồn tại số nguyên q sao cho a=b.q thì ta nói r ng a chia hết cho
a b b(kí hi u ) , hay b chia hết a (kí hiệu b|a). Khi đó người ta c ng gọi a là bội số (hay đơn
giản là bội) của b, còn b là ước số (hay đơn giản là ước) của b.
Ví dụ: 15 = 5.3, nên 15 chia hết cho 3, 3 chia hết 15, 15 là bội của 3, 3 là ước của 15
Đặc biệt, số 0 chia hết cho mọi số khác không, số 1 chia hết mọi số nguyên, mỗi số
nguyên khác 0 chia hết cho chính nó. Chính t đó, mọi số nguyên khác 1 có ít nhất hai
ước là 1 và chính nó. Nếu số nguyên b|a thì số đối của nó -b c ng là ước của a. Do đó
trong nhiều trường hợp, nếu n à số tự nhiên, người ta chỉ quan tâm tới các ước tự nhiên
của n. Một số tự nhiên khác 1, có đúng hai ước tự nhiên là 1 và chính nó được gọi là số
nguyên tố.
Các số tự nhiên lớn hơn 1, không là số nguyên tố được gọi là hợp số.
Một ước số của n được gọi là không tầm thường nếu nó khác 1, -1, n, -n. Số nguyên tố thì
không có ước số không tầm thường. 1, -1, n, -n là các ước tầm thường của n.
2.4 Định lý về phép chia có dư.
Cho a, b là hai số nguyên (b 0), khi đó tồn tại duy nhất hai số nguyên q, r sao cho a= bq+r
với 0 ≤ r <|b|. Ta có a là số bị chia, b là số chia, q là thương số và r là số dư. Khi chia a cho b
có thể có số dư là 0; 1; 2;...; |b|-1. (Kí hiệu |b| là giá trị tuyệt đối của b.)
Đặc biệt: + Nếu r = 0 thì a = bq, khi đó a chia hết cho b.
+ Nếu r 0 thì phép chia a cho b là phép chia có dư.
2.5 Các tính chất.
1. Với a 0 a a
Trang 10
2. Nếu a b và b c a c
3. Với a 0 0 a
4. Nếu a, b > 0 và a b ; b a a = b
5. Nếu a b và c bất kỳ ac b
6. Nếu a b (a) (b)
7. Với a a (1)
8. Nếu a b và c b a c b
9. Nếu a m và an và(m,n)=1 a mn
.PDF 
60 
2890 
120 
